フェルマーの原理と光の反射

ご存知フェルマーの原理。定理じゃない。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
要約すると「光の経路は極小になるものを通る」、ということだけれども、これを反射の場合に適用するとおかしなことになる、と言う話が今日のS田研のミーティングで出た(正確には、似たような話から発展していった)ので、その話を書いておくことにする。
2次元での光の経路という前提で、光がA(-1, 0)からB(1, 0)へ向かうものとする。鏡として、円形のものを考える。円の式は、x^2 + y^2 = 1であって、その内側が鏡になっているとする。
自明なことだが、Aから出た光が点(0,1)で反射をしてBに辿りつく、という経路は存在するが、その反射点というのを少し動かすと距離は逆に減る。すなわち、この場合は光の経路が極大になる。
これは自明で、A -> (0,1) -> Bという経路の長さは2*sqrt(2)だが、点(-1,0)から点(1,0)まで一度曲がって長さが2*sqrt(2)になるような点の軌跡は楕円になるが、その楕円はx^2+y^2=1を完全に覆ってしまう、ということ。
図で描くと、という感じになる。
これは少し意外だった。